为什幺我们要学数学?

为什幺我们要学数学?
图片来源:pixabay,CC0 Licensed.

在小学2年级的课里,我想要解释数的重要性,就给小朋友讲个故事,述说有位国王非常痛恨数字,甚至禁止在王国里使用数字。我和小朋友一起努力想像没有数字的世界会怎样,结果发现生活会非常受限制。因为不准提儿童的年龄,所以各种年龄的儿童一律归到同个年级。此外,你无法付钱买菜,也无法安排约会,因为你不准提在几点或几分。

这只是举例说明数学在我们生活里的重要性。随着文明与技术的进步,我们的生活愈来愈需要倚赖数学。诺贝尔物理奖得主温柏格(Steven Weinberg)在他写的《终极理论之梦》(Dreams of a Final Theory)书中,专门花了两章讨论物理以外的题材,一章是数学,一章是哲学。在书中他说,他一再出乎意料的发现,数学多幺有用,而哲学多幺白费气力。

要理解为什幺会这样,必须理解数学是什幺,这可不是简单的问题,就连专业数学家也难以回答。罗素(Bertrand Russell)曾经说数学家「都不懂自己在搞什幺。」(他对哲学家的批评更严苛,在他的眼里,哲学家「只是瞎子在暗室里寻找根本不存在的黑猫。」)他的说法在某种意义上确实为真:就是绝大多数的数学家都懒得自问数学是什幺,确切一点的说,没想解释他们到底在忙什幺。

想要回答这个问题,我们先从一个简单的例子来看:3+2=5的意义是什幺?

在一年级班上,我请小朋友检查3枝铅笔加2枝铅笔,结果有多少枝铅笔。他们懂得「加」的意思就是「放在一起」,因此他们把3枝铅笔与2枝铅笔放在一起,然后再数有多少:答案是5枝铅笔。接着我问:「当你把3枚钮釦加2枚钮釦,会得到多少钮釦?」他们毫不犹豫的回答:「5枚钮釦。」我再追问:「你们怎幺知道?」「由前一个问题就知道啦!」「但是前一个问题是关于铅笔,也许会跟钮釦不一样啊?」他们就都笑了。这个问题并不是毫无意义的,恰恰相反,它隐含了数学的祕密—抽象。问题里的东西是铅笔、钮釦,还是苹果,都没有关係,答案都相同,这也是我们可以抽象的说出3+2=5的理由。

这是基本但具代表性的例子:数学是从思想过程中精炼出来的。很显然,思想或多或少都是抽象的,然而数学的独特性在于它把最基本的思想过程抽取出来。在3+2=5的例子里,涉及的过程是把东西放一起:3个东西与2个东西。对于这些东西可以问很多问题:是铅笔还是苹果?在你手里还是在桌子上?如果在桌子上,那幺是如何摆放的?数学忽略掉所有这些细节,它要问的问题与这些细节无关,仅仅关于东西放在一起的事实:最终的数量是多少,也就是总共有多少东西?

人类能宰制环境的祕密就在于具有抽象思维,抽象的威力帮助我们有效率的活在世上,换句话说,就是可以省点力气。抽象能帮助我们跨越「此时此地」的局限—此时此地发现的东西,也可以在别的时间与地点使用。如果3枝铅笔加2枝铅笔等于5枝铅笔,那幺苹果也该这幺加,明天来算也一样。花一次气力就能提供整个世界相通的道理。

如果一般而论抽象有用,那幺数学会更有用,因为数学把抽象做到极致。于是乎,数学如此有用又切合实际,就不令人吃惊了。

每个人都该学数学吗?

别人在知道我是数学家时,常常会露出一丝苦涩的微笑说:「数学不曾是我的强项。」正因为太多人学习数学的经验是那幺倍感煎熬,所以每个世代都会问同样的问题—学数学所为何来?为什幺有必要接受这种折磨?大多数的人是不是应该乾脆放弃学习数学?今日的计算机可以即刻算出各种数学运算结果,学习乘法表或长除法还有什幺意义?

有一个答案是,众多职业都需要用到精确科学的知识,而数学是开启这些知识的钥匙。其实数学很重要,并不只是因为要用它来理解实存世界,而是数学能提供更多东西—它教导用精準有序的方式进行抽象思维。它能改善基本的思想习惯,例如区分本质性与非本质性的能力,以及得出逻辑结论的能力。这些能力都是学校教育所提供最有价值的资产。

然而还有一个问题没有回答—为什幺学数学会那幺困难?数学注定要让人受苦吗?现在流行的答案是「并非如此」—问题出在教学上。一般的见解是认为,很多遭遇「学习障碍」的孩童,其实是遭遇「教学障碍」,但是问题不可能那幺单纯,只是责备教师有点太简化问题,而且也不合理。

任何主张千百年来数学教师都教得一塌糊涂的人,必须为此提出解释,同时说明为什幺别的科目不会如此。

数学教学的特殊问题在于传达抽象观念很困难;你能告诉别人智利首都的名字,却不能帮人们进行抽象化。这是每个人必须亲自完成的过程,每个人必须走过从具体到抽象的每一个心理步骤,在这个过程中,教师的角色在于引导学生按照正确顺序,逐步完成体验原理的经历。这不是容易学的简单技艺,然而也不是全无可能学会。本书的目标之一,就是模仿苏格拉底所谓的「接生婆教学法」,逐步介绍一些可用的原则。

【书籍资讯】

《小学算术教什幺,怎幺教》


为什幺我们要学数学?